Opções de ações do empregado: questões de avaliação e preços.
Os principais determinantes do valor de uma opção são: volatilidade, tempo até a expiração, taxa de juros livre de risco, preço de exercício e preço do estoque subjacente. Entender a interação dessas variáveis - especialmente a volatilidade e o tempo até a expiração - é crucial para tomar decisões informadas sobre o valor de suas Opções de Ações do Funcionário (ESOs). (Relacionado: Avaliação de Opções)
No exemplo a seguir, supomos que um ESO dando o direito (quando investido) de comprar 1.000 ações da empresa a um preço de exercício de $ 50, que é o preço de fechamento da ação no dia da concessão da opção (fazendo isso - money opção após a concessão). A Tabela 4 utiliza o modelo de precificação de opções Black-Scholes para isolar o impacto da deterioração do tempo, mantendo a volatilidade constante, enquanto a Tabela 5 ilustra o impacto da maior volatilidade nos preços das opções. (Você pode gerar os preços das opções usando esta interessante calculadora no site do CBOE).
Como pode ser visto na Tabela 4, quanto maior o tempo de expiração, mais a opção vale a pena. Uma vez que assumimos que esta é uma opção no dinheiro, todo o seu valor consiste em valor de tempo. A Tabela 4 demonstra dois princípios de precificação de opções fundamentais:
O valor do tempo é um componente muito importante do preço das opções. Se você for premiado com ESOs com prazo de 10 anos, seu valor intrínseco é zero, mas eles têm um valor substancial de tempo, $ 23,08 por opção neste caso, ou mais de $ 23,000 para ESOs que dão a você o direito para comprar 1.000 ações. A queda do tempo de opção não é linear por natureza. O valor das opções diminui à medida que a data de vencimento se aproxima, um fenômeno conhecido como decaimento do tempo, mas esse tempo de decaimento não é linear por natureza e acelera próximo à expiração da opção. Uma opção que está longe do dinheiro vai decair mais rápido do que uma opção que está no dinheiro, porque a probabilidade do primeiro ser lucrativo é muito menor do que a do último.
Tabela 4: Avaliação de um ESO, assumindo-se no dinheiro, enquanto variando o tempo restante (assume o pagamento de dividendos não pagos)
ESOs: usando o modelo binomial.
Existem três cálculos básicos. Primeiro, plotamos os dois possíveis preços futuros das ações. Segundo, traduzimos os preços das ações em valores de opções futuras: no final do ano, essa opção valerá US $ 1,20 ou nada. Terceiro, descontamos os valores futuros em um único valor presente. Neste caso, os descontos de US $ 1,20 para US $ 1,14 porque assumimos uma taxa de 5% sem risco. Depois de ponderarmos cada resultado possível em 50%, o binômio de passo único diz que nossa opção vale US $ 0,57 no momento da concessão.
A indução retroativa simplesmente começa com os valores das opções finais e funciona de volta através de uma série de mini-modelos de uma etapa. Por exemplo, o valor das opções para Su4 acima (o penúltimo valor no topo da árvore) é apenas uma mistura ponderada dos dois nós finais que vêm depois dele. E Su3 torna-se uma mistura ponderada de Su4 e Su2, e assim por diante, até que o modelo converta para um único valor de opção - em termos de valor atual - na frente da árvore.
Uma grande vantagem do binômio é que ele pode valorizar uma opção de estilo americano, que pode ser exercida antes do final de seu prazo, e é o estilo de opção que os ESOs geralmente adotam. O modelo atinge essa capacidade de avaliação comparando o valor calculado em cada nó (como acima) com o valor intrínseco nesse nó. Nos poucos casos em que o valor intrínseco é maior, o modelo assume que a opção vale o valor intrínseco no nó. Isso tem o efeito geral de aumentar o valor da opção de estilo americano em relação a uma opção de estilo europeu, à medida que alguns dos nós são aumentados.
A árvore binomial acima é a mesma de antes, exceto com duas diferenças. Primeiro, porque a opção não é investida nos primeiros anos, o modelo não assume nenhum exercício inicial durante esses anos (o que seria feito para resgatar altos valores intrínsecos nos caminhos ascendentes). Segundo - e esta é uma diferença fundamental - o binômio permite um fator de exercício. O FASB chama isso de "fator de exercício sub-ótimo". Um fator de exercício de 2x, por exemplo, permite que o modelo assuma que os empregados exercerão a opção se o preço das ações aumentar para dobrar (2x) o preço de exercício. A ideia por trás desse fator é simplesmente antecipar o exercício antecipado de opções dentro do dinheiro sob circunstâncias favoráveis. Se o fator de exercício for acionado, a opção é assumida como exercida e a árvore binomial basicamente pára nesse nó.
Tenha em mente que os ESOs são muito menos líquidos do que as opções negociadas, pois um funcionário não pode vender sua opção em uma bolsa pública. Você pode se lembrar de que os Black-Scholes lidam com isso com uma solução de band-aid: as empresas usam uma 'expectativa de vida' reduzida em vez do termo de 10 anos como entrada para os Black-Scholes. Como o modelo binomial já constrói esses fatores de iliquidez através das restrições de aquisição de direitos e pressupostos de exercício antecipado, o binômio aceita o termo completo de 10 anos como entrada.
É claro que uma empresa também pode tentar obter um valor mais baixo ajustando as entradas à medida que muda de modelo. Por exemplo, a mudança de 40% de volatilidade sob Black-Scholes para uma faixa de volatilidade de 20% a 40% sob o binômio provavelmente produzirá um valor de opções mais baixo. Mas, neste exemplo, a causa real para um valor mais baixo não é uma mudança nos modelos de precificação de opções, mas sim uma redução na volatilidade média de 40% a 30%.
Modelo binomial de opções de ações para empregados
Avaliação das opções de ações do empregado: uma abordagem binomial usando o Microsoft Excel.
JULHO DE 2005 - Houve controvérsia substancial desde que o FASB propôs pela primeira vez a contabilização das opções de ações para funcionários. Parte da controvérsia é atribuída ao desacordo sobre como as opções devem ser valorizadas. Historicamente, Wall Street avalia as opções usando modelos como o Black-Scholes. Esses modelos são aplicáveis principalmente a opções negociadas publicamente de curto prazo, no entanto, e podem não ser a melhor abordagem para avaliar opções de ações para funcionários, que tendem a ser de longo prazo, intransferíveis e sujeitas a vários requisitos de aquisição e regras de confisco.
Uma alternativa recentemente discutida, endossada pela atual proposta do FASB, é o uso de um & nbsp; trelta & # 8221; modelo binomial que leva em consideração as características associadas às opções de ações do empregado. Pode ser adaptado para uma empresa que concede tais opções. Este artigo tentará demonstrar esse modelo usando fórmulas simples em uma planilha do Excel, que pode ser baixada do cpaj. O objetivo do autor não é apresentar a abordagem mais abrangente, mas sim fornecer um pensamento para as pessoas, considerando um método alternativo para avaliar as opções de ações de seus funcionários da empresa.
Considere um negócio, Exemplo de Empresa, com as seguintes características de seu plano de opções de ações para funcionários:
Preço de mercado de ações US $ 6,00.
Preço de exercício $ 6,00.
Prazo da opção 5 anos.
Taxa livre de risco 4%
Vesting vesting penhasco de 2 anos.
O primeiro passo no processo de avaliação é criar um modelo binomial padrão (ou seja, não modificado). O modelo de Cox, Ross e Rubinstein (CRR) é fácil de construir e é provavelmente o modelo binomial mais amplamente aceito e popular. Para aqueles interessados na teoria por trás do modelo, há inúmeros livros e artigos sobre o assunto, incluindo o artigo de 1979 original de Cox, Ross e Rubinstein, "Preço de Opção: Uma Abordagem Simplificada", & # 8221; publicado no Journal of Financial Economics. A abordagem deste autor para a criação de modelos de CRR é semelhante à encontrada em Modelagem Financeira Usando o Excel e o VBA, por Chandan Sengupta (Wiley, 2004).
Para configurar o modelo de CRR no Microsoft Excel, insira os dados conforme mostrado na Figura 1, células A7 a B12. Em seguida, insira os rótulos conforme mostrado nas células A16 a A21. Por fim, insira as seguintes fórmulas nas células correspondentes:
Se as fórmulas forem inseridas corretamente, o intervalo de dados de B17 a B21 deve corresponder ao mostrado no Anexo 1.
O próximo passo é destacar o intervalo de A17 a B21, em seguida, selecione o item de menu Inserir & gt; Nome & gt; Criar e clique na & # 8220; coluna da esquerda & # 8221; caixa. Siga os mesmos passos com o intervalo de A8 a B8. Isso atribuirá um nome a essas células, facilitando a cópia de fórmulas e a configuração das árvores binomiais. Além disso, permitirá que as fórmulas sejam autoexplicativas, já que esses nomes descritivos serão usados nas fórmulas em vez das referências habituais de célula.
O próximo passo é configurar uma árvore de preços de ações. & # 8221; De acordo com a teoria binomial, a árvore de preços das ações gerará vários preços de ações (ou seja, preços para cima e para baixo em cada etapa) ao longo da vida da opção. (A árvore de preços de ações completa é mostrada no Anexo 1.)
Para gerar a árvore de preços das ações, digite o & # 8220; Passo 0 & # 8211; 5 & # 8221; rótulos nas células A28 a G28, e o & # 8220; Time & # 8221; rotular na célula A29. Na célula B29, insira a fórmula & # 8220; = B28 * Intervalo de tempo & # 8221; e copie para a célula G29. Este passo é simples neste exemplo, mas torna-se importante quando se geram árvores maiores, onde o ano é dividido em intervalos mais curtos. Na célula A31, digite o rótulo & # 8220; Stock Price & # 8221; e na célula B31 digite & # 8220; = B7 & # 8221 ;. Na célula C31, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Up_movement & # 8221; e copie para a célula G31. Na célula C32, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Down_movement & # 8221; e copie para a célula G32. Em seguida, copie a célula D32 uma linha para baixo, copie a célula E32 duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O terceiro passo é construir a árvore de opções & # 8220 ;, & # 8221; seguindo um processo conhecido como "indução retroativa", & # 8221; que começa no final da árvore (ou seja, na expiração) e funciona de volta ao tempo presente. No vencimento, uma opção de ação é igual ao maior valor intrínseco (o preço de mercado do estoque no vencimento, menos o preço de exercício) ou zero; uma opção não pode ter um valor negativo. Para refletir isso, insira a fórmula & # 8220; = MAX (0, (G31-Exercise_price)) & # 8221; na célula G40, copie-o para a célula G45. De acordo com a teoria binomial, os valores nas etapas anteriores representam o valor esperado descontado dos futuros valores de opção superior e inferior. Para refletir isso, na célula B40, insira a fórmula & # 8220; = (Up_movement_probability * C40 + (1-Up_movement_probability) * C41) * Discount_factor & # 8221; e copie para a célula F40. Finalmente, copie a célula C40 em uma linha, copie a célula D40 em duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O resultado final é um modelo binomial padrão que pode ser adaptado para qualquer empresa. O modelo pode ser validado através de uma comparação com o modelo de Black-Scholes; quanto mais passos forem utilizados, mais próximos os resultados se aproximarão do modelo de Black-Scholes. Neste exemplo, verifica-se que o modelo de Black-Scholes produz exatamente a mesma quantidade (US $ 1,21).
A etapa final é modificar o modelo para se adequar a uma empresa específica. Continuando com o exemplo acima, a hipótese de aquisição do precipício de dois anos e o histórico de exercícios anteriores da empresa devem ser considerados. Suponha que, durante os últimos cinco anos de exercícios de opções de ações, os empregados tenham exercido suas opções, em média, quando o preço de mercado excedeu o preço de exercício em 10%. Assim, assume-se que os empregados exercerão suas opções assim que o fator preço de mercado (ou seja, o preço atual dividido pelo preço de exercício) exceder 1,10. Os funcionários só podem exercer suas opções, no entanto, uma vez que eles são adquiridos.
Esses fatores podem ser integrados da seguinte maneira. Primeiro, o fator de exercício (1.10) deve ser inserido na célula B13. O preço mínimo de mercado que acionará a opção a ser exercida pode ser calculado inserindo-se a fórmula & # 8220; = B13 * Preço_do_ Exercício & # 8221 ;. Essas células foram inseridas na planilha, como mostrado na Figura 2.
A coluna E representa o primeiro ano em que os funcionários estão investidos e livres para exercer suas opções. A fórmula com & # 8220; = SE (E31 & gt; Minimum_mkt_price,
E31 - Preço do Exercício, (Up_movement_probability * F40 + (1-Up_movement_probability) * F41) * Discount_factor) & # 8221; deve ser inserido na célula E40. Esta fórmula testa se o estoque será exercido e, se for o caso, o valor intrínseco é inserido na célula. Copie esta fórmula na célula F40. Em seguida, copie a célula E40 para a célula E43 e copie a célula F40 para a célula F44. A árvore de opções resultante para o modelo binomial final modificado deve corresponder à mostrada na Figura 2.
É interessante notar que, embora o preço de mercado do ano superior da árvore de preços das ações de $ 6,63 exceda o preço mínimo de $ 6,60, o modelo não trata a opção como exercida porque ainda não está adquirida. Note que depois de considerar o fator de exercício baixo & # 8221; e regras de aquisição, o preço da opção caiu de US $ 1,21 para US $ 0,88: uma redução de 27%. Essa é a principal vantagem de usar esse tipo de modelo: regras de aquisição e práticas de funcionários passadas podem ser facilmente consideradas.
Embora o exemplo acima tenha sido mantido simples para fins de demonstração, o modelo binomial de CRR pode ser modificado para estar em conformidade com o histórico de exercícios de uma empresa específica e os requisitos de aquisição de direitos. As fórmulas podem ser expandidas e editadas na planilha do Excel.
Andrew Gibiansky :: Math & rarr; [Código]
Quinta-feira, 9 de maio de 2013.
Embora a maioria de nós esteja familiarizada com ações no mercado de ações, podemos não estar tão familiarizados com os derivativos negociados em mercados similares. Um desses derivativos é chamado de "ação". As opções são, essencialmente, o direito de comprar ou vender uma ação a um determinado preço. Esses dois tipos de opções são conhecidos como opções "call" e "put", respectivamente. Por exemplo, posso comprar uma opção CALL para a AAPL (Apple) com um preço de exercício de $ 430,30 dólares e uma data de vencimento da próxima quarta-feira; isso significa que a qualquer momento antes da próxima quarta-feira, posso comprar uma ação AAPL a esse preço, independentemente de qual seja o preço da ação (o preço à vista) atualmente. Se até a próxima quarta-feira o preço subir para US $ 450, então eu posso comprar por US $ 430,30 e vender por US $ 450, ganhando assim um grande lucro. Uma opção PUT é semelhante, mas em vez de ser uma aposta no valor crescente, é uma aposta no valor em queda e permite vender uma ação por um preço superior ao preço à vista. As opções são um derivado incrivelmente fundamental, com muitos operadores usando exclusivamente opções para suas atividades. Com isto em mente, surge uma questão muito natural: dada alguma opção, quanto devo estar disposto a pagar para comprar essa opção? A Apple CALL que descrevi anteriormente vale US $ 1 ou US $ 10? Se a Apple subir para US $ 450 é muito provável, então, obviamente, a chamada deve ser mais cara, já que tem um lucro de quase US $ 20. No entanto, se não houver chance alguma de que a Apple suba acima de US $ 430,30, a opção é quase inútil.
Um algoritmo para opções de preços é conhecido como Modelo de precificação das opções binomiais (BOPM abreviado). Assume-se que as taxas diárias de crescimento contínuo para o estoque subjacente são normalmente distribuídas em torno de zero (a média é \ (\ alpha = 0 \)) com alguma variação \ (\ sigma ^ 2 \). Embora essas suposições não sejam bem verdadeiras, elas são próximas o bastante para serem verdadeiras em certas circunstâncias para serem úteis.
Em seguida, assumimos que o preço da ação é um processo de tempo discreto com algum timestep \ (\ Delta t \), e que a cada timestep o preço da ação sobe por um fator de \ (u \) ou desce por um fator de \ (d => \). (Já que subir por um fator de \ (u \) é um aumento, nós reforçamos isso \ (u \ ge 1 \) e assim \ (d \ in [0, 1] \).) Esses dois fatores vêm do suposição de que o preço é um processo Ito com um \ (\ alpha \) de zero. Portanto, podemos calcular os dois fatores a partir da volatilidade do estoque, e deixar \ [\ begin u & amp; = e ^> \\ d & amp; = e ^> \ end \] onde \ (\ sigma \) é o volatilidade e \ (\ sqrt \) é um fator de ajuste de tempo para dimensionar a volatilidade pela duração do intervalo de tempo.
Uma vez que tenhamos computado \ (u \) e \ (d \), podemos, a partir do tempo \ (t = 0 \), calcular os possíveis preços das ações às vezes \ (t = k \ Delta t \) para todos \ (k \) a partir do zero e indo até a data de vencimento da opção. Podemos construir uma árvore com um nó para cada preço de ação possível a cada timestep, começando de \ (t = 0 \) e \ (S = S_0 \). O próximo timestep \ (t = \ Delta t \) terá dois nós, um para \ (uS_0 \) e outro para \ (dS_0 \). O intervalo de tempo para \ (t = 2 \ Delta t \) terá (tecnicamente) quatro nós iguais a \ (u ^ 2S_0 \), \ (udS_0 \), \ (duS_0 \) e \ (d ^ 2S_0 \ ). No entanto, note que \ (ud = du = u \ frac = 1, \), o que significa que podemos colapsar os nós internos em um. Portanto, na hora \ (t = k \ Delta t \), haverá um total de nós \ (k + 1 \), porque você terá preços iguais a \ (u ^ id ^ S_0 \) para cada \ ( i \ in> \).
Árvore de modelo de precificação de opções binomiais.
O objetivo final do modelo de precificação de opções binomiais é calcular o preço da opção em cada nó dessa árvore, eventualmente computando o valor na raiz da árvore. Começamos calculando o valor nas folhas. O valor nas folhas é fácil de calcular, já que é simplesmente o valor do exercício. Se deixarmos que \ (K \) seja o preço de exercício da opção e seja \ (S_n \) o valor do estoque no nó dado, então o preço no nó dado será \ [\ begin C & amp; = \ max \ qquad \ text \\ C & amp; = \ max \ qquad \ text \\\ end \] Se as opções de compra ou venda não forem lucrativas, elas simplesmente terão permissão para expirar sem se exercitarem e, portanto, terão um preço de zero (será uma opção inútil). (Você pode verificar isso para uma opção de compra observando que, se o preço da ação for maior que o preço de exercício, \ (S_n - K \) é positivo, então se for uma opção de compra, você poderá comprar o ativo para \ (K \) e depois vendê-lo para \ (S_n \), ganhando assim \ (S_n - K \) no lucro.)
Para prosseguir, precisamos de um método para calcular o preço da opção nos nós internos da árvore do modelo binomial. Para cada nó interno, calculamos o valor binomial, que é o payout futuro esperado pela opção decaído pelo tempo. Isso é totalmente lógico, como se a opção tivesse um preço esperado de \ (E [P] \) em um intervalo de tempo de \ (\ Delta t \), o preço atual é simplesmente igual ao preço com desconto retroativo de \ (e ^ E [P] \), onde \ (r \) é a taxa de desconto livre de risco. O valor esperado para o preço da opção futura pode ser calculado examinando os nós mais próximos das folhas; Se estamos em algum preço de ação \ (S_i \), então as duas possibilidades de evolução de preço são \ (uS_i \) e \ (dS_i \), e como essas estão mais abaixo na árvore, já calculamos os preços de opções para esses nós. Portanto, o valor esperado do preço das opções em um timestep é dado por \ (E [P] = pC_ \ text + (1-p) C_ \ text \), onde \ (C_ \ text \) e \ (C_ \ text) \) são os preços de opções para os nós correspondentes ao preço da ação subindo ou descendo no intervalo de tempo e \ (p \) é a probabilidade de o preço das ações subir. Ao escolher a probabilidade \ (p \) de usar, desejamos que \ (X \ sim \ text (n, p) \) simule o movimento browniano geométrico aleatório de uma ação com volatilidade percentual \ (\ sigma \) e porcentagem de desvio \ (\ mu \). Permitindo dividendos com dividend yield \ (q \), essa probabilidade se torna \ (p = \ frac - d> \). O valor \ [e ^ + (1-p) C \ \ text \ right)>, \: \; p = \ frac - d> \] é conhecido como o valor binomial do nó e é uma relação de recorrência para calcular o valor binomial de um nó interno dado o preço das opções de seus filhos mais abaixo na árvore. Como temos um método separado de calcular os preços das folhas, podemos calcular o valor binomial de qualquer nó na árvore.
Observe que, embora seja tentador dizer que o valor binomial é o preço das opções, isso pode não ser o caso; nas opções de estilo americano (o tipo descrito no início deste post), cada nó também tem a opção de exercer a opção, de modo que o preço das opções é o máximo do valor binomial e o lucro obtido exercitando a opção naquele ponto Tempo. O lucro pode ser avaliado exatamente da mesma maneira que o cálculo para as folhas, com dois casos, um para chamada e outro para opções de venda. No entanto, existem opções de estilo europeu, em que o exercício antecipado não é uma opção, portanto, o valor binomial é o preço das opções; da mesma forma, existem opções de estilo Bermudense, em que o exercício antecipado é apenas uma opção em alguns nós, e somente nesses nós você escolhe o máximo do lucro potencial e o valor binomial. Isso demonstra a flexibilidade do modelo de precificação de opções binomiais e conclui a descrição do algoritmo de Modelo de Precificação de Opções Binomial de peças separadas. Uma implementação muito ingênua e correta do Python desse algoritmo é fornecida; Embora este algoritmo esteja correto, ele pode ser acelerado facilmente para executar em \ (O (N ^ 2) \) em vez de \ (O (2 ^ N) \) tempo através de técnicas de programação dinâmica.
Modelo de precificação de opções binomiais: Implementação Python NaNЇve (download)
Modelo binomial de opções de ações para empregados
Avaliação das opções de ações do empregado: uma abordagem binomial usando o Microsoft Excel.
JULHO DE 2005 - Houve controvérsia substancial desde que o FASB propôs pela primeira vez a contabilização das opções de ações para funcionários. Parte da controvérsia é atribuída ao desacordo sobre como as opções devem ser valorizadas. Historicamente, Wall Street avalia as opções usando modelos como o Black-Scholes. Esses modelos são aplicáveis principalmente a opções negociadas publicamente de curto prazo, no entanto, e podem não ser a melhor abordagem para avaliar opções de ações para funcionários, que tendem a ser de longo prazo, intransferíveis e sujeitas a vários requisitos de aquisição e regras de confisco.
Uma alternativa recentemente discutida, endossada pela atual proposta do FASB, é o uso de um & nbsp; trelta & # 8221; modelo binomial que leva em consideração as características associadas às opções de ações do empregado. Pode ser adaptado para uma empresa que concede tais opções. Este artigo tentará demonstrar esse modelo usando fórmulas simples em uma planilha do Excel, que pode ser baixada do cpaj. O objetivo do autor não é apresentar a abordagem mais abrangente, mas sim fornecer um pensamento para as pessoas, considerando um método alternativo para avaliar as opções de ações de seus funcionários da empresa.
Considere um negócio, Exemplo de Empresa, com as seguintes características de seu plano de opções de ações para funcionários:
Preço de mercado de ações US $ 6,00.
Preço de exercício $ 6,00.
Prazo da opção 5 anos.
Taxa livre de risco 4%
Vesting vesting penhasco de 2 anos.
O primeiro passo no processo de avaliação é criar um modelo binomial padrão (ou seja, não modificado). O modelo de Cox, Ross e Rubinstein (CRR) é fácil de construir e é provavelmente o modelo binomial mais amplamente aceito e popular. Para aqueles interessados na teoria por trás do modelo, há inúmeros livros e artigos sobre o assunto, incluindo o artigo de 1979 original de Cox, Ross e Rubinstein, "Preço de Opção: Uma Abordagem Simplificada", & # 8221; publicado no Journal of Financial Economics. A abordagem deste autor para a criação de modelos de CRR é semelhante à encontrada em Modelagem Financeira Usando o Excel e o VBA, por Chandan Sengupta (Wiley, 2004).
Para configurar o modelo de CRR no Microsoft Excel, insira os dados conforme mostrado na Figura 1, células A7 a B12. Em seguida, insira os rótulos conforme mostrado nas células A16 a A21. Por fim, insira as seguintes fórmulas nas células correspondentes:
Se as fórmulas forem inseridas corretamente, o intervalo de dados de B17 a B21 deve corresponder ao mostrado no Anexo 1.
O próximo passo é destacar o intervalo de A17 a B21, em seguida, selecione o item de menu Inserir & gt; Nome & gt; Criar e clique na & # 8220; coluna da esquerda & # 8221; caixa. Siga os mesmos passos com o intervalo de A8 a B8. Isso atribuirá um nome a essas células, facilitando a cópia de fórmulas e a configuração das árvores binomiais. Além disso, permitirá que as fórmulas sejam autoexplicativas, já que esses nomes descritivos serão usados nas fórmulas em vez das referências habituais de célula.
O próximo passo é configurar uma árvore de preços de ações. & # 8221; De acordo com a teoria binomial, a árvore de preços das ações gerará vários preços de ações (ou seja, preços para cima e para baixo em cada etapa) ao longo da vida da opção. (A árvore de preços de ações completa é mostrada no Anexo 1.)
Para gerar a árvore de preços das ações, digite o & # 8220; Passo 0 & # 8211; 5 & # 8221; rótulos nas células A28 a G28, e o & # 8220; Time & # 8221; rotular na célula A29. Na célula B29, insira a fórmula & # 8220; = B28 * Intervalo de tempo & # 8221; e copie para a célula G29. Este passo é simples neste exemplo, mas torna-se importante quando se geram árvores maiores, onde o ano é dividido em intervalos mais curtos. Na célula A31, digite o rótulo & # 8220; Stock Price & # 8221; e na célula B31 digite & # 8220; = B7 & # 8221 ;. Na célula C31, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Up_movement & # 8221; e copie para a célula G31. Na célula C32, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Down_movement & # 8221; e copie para a célula G32. Em seguida, copie a célula D32 uma linha para baixo, copie a célula E32 duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O terceiro passo é construir a árvore de opções & # 8220 ;, & # 8221; seguindo um processo conhecido como "indução retroativa", & # 8221; que começa no final da árvore (ou seja, na expiração) e funciona de volta ao tempo presente. No vencimento, uma opção de ação é igual ao maior valor intrínseco (o preço de mercado do estoque no vencimento, menos o preço de exercício) ou zero; uma opção não pode ter um valor negativo. Para refletir isso, insira a fórmula & # 8220; = MAX (0, (G31-Exercise_price)) & # 8221; na célula G40, copie-o para a célula G45. De acordo com a teoria binomial, os valores nas etapas anteriores representam o valor esperado descontado dos futuros valores de opção superior e inferior. Para refletir isso, na célula B40, insira a fórmula & # 8220; = (Up_movement_probability * C40 + (1-Up_movement_probability) * C41) * Discount_factor & # 8221; e copie para a célula F40. Finalmente, copie a célula C40 em uma linha, copie a célula D40 em duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O resultado final é um modelo binomial padrão que pode ser adaptado para qualquer empresa. O modelo pode ser validado através de uma comparação com o modelo de Black-Scholes; quanto mais passos forem utilizados, mais próximos os resultados se aproximarão do modelo de Black-Scholes. Neste exemplo, verifica-se que o modelo de Black-Scholes produz exatamente a mesma quantidade (US $ 1,21).
A etapa final é modificar o modelo para se adequar a uma empresa específica. Continuando com o exemplo acima, a hipótese de aquisição do precipício de dois anos e o histórico de exercícios anteriores da empresa devem ser considerados. Suponha que, durante os últimos cinco anos de exercícios de opções de ações, os empregados tenham exercido suas opções, em média, quando o preço de mercado excedeu o preço de exercício em 10%. Assim, assume-se que os empregados exercerão suas opções assim que o fator preço de mercado (ou seja, o preço atual dividido pelo preço de exercício) exceder 1,10. Os funcionários só podem exercer suas opções, no entanto, uma vez que eles são adquiridos.
Esses fatores podem ser integrados da seguinte maneira. Primeiro, o fator de exercício (1.10) deve ser inserido na célula B13. O preço mínimo de mercado que acionará a opção a ser exercida pode ser calculado inserindo-se a fórmula & # 8220; = B13 * Preço_do_ Exercício & # 8221 ;. Essas células foram inseridas na planilha, como mostrado na Figura 2.
A coluna E representa o primeiro ano em que os funcionários estão investidos e livres para exercer suas opções. A fórmula com & # 8220; = SE (E31 & gt; Minimum_mkt_price,
E31 - Preço do Exercício, (Up_movement_probability * F40 + (1-Up_movement_probability) * F41) * Discount_factor) & # 8221; deve ser inserido na célula E40. Esta fórmula testa se o estoque será exercido e, se for o caso, o valor intrínseco é inserido na célula. Copie esta fórmula na célula F40. Em seguida, copie a célula E40 para a célula E43 e copie a célula F40 para a célula F44. A árvore de opções resultante para o modelo binomial final modificado deve corresponder à mostrada na Figura 2.
É interessante notar que, embora o preço de mercado do ano superior da árvore de preços das ações de $ 6,63 exceda o preço mínimo de $ 6,60, o modelo não trata a opção como exercida porque ainda não está adquirida. Note que depois de considerar o fator de exercício baixo & # 8221; e regras de aquisição, o preço da opção caiu de US $ 1,21 para US $ 0,88: uma redução de 27%. Essa é a principal vantagem de usar esse tipo de modelo: regras de aquisição e práticas de funcionários passadas podem ser facilmente consideradas.
Embora o exemplo acima tenha sido mantido simples para fins de demonstração, o modelo binomial de CRR pode ser modificado para estar em conformidade com o histórico de exercícios de uma empresa específica e os requisitos de aquisição de direitos. As fórmulas podem ser expandidas e editadas na planilha do Excel.
Avaliação das opções de ações do empregado: uma abordagem binomial usando o Microsoft Excel.
JULHO DE 2005 - Houve controvérsia substancial desde que o FASB propôs pela primeira vez a contabilização das opções de ações para funcionários. Parte da controvérsia é atribuída ao desacordo sobre como as opções devem ser valorizadas. Historicamente, Wall Street avalia as opções usando modelos como o Black-Scholes. Esses modelos são aplicáveis principalmente a opções negociadas publicamente de curto prazo, no entanto, e podem não ser a melhor abordagem para avaliar opções de ações para funcionários, que tendem a ser de longo prazo, intransferíveis e sujeitas a vários requisitos de aquisição e regras de confisco.
Uma alternativa recentemente discutida, endossada pela atual proposta do FASB, é o uso de um & nbsp; trelta & # 8221; modelo binomial que leva em consideração as características associadas às opções de ações do empregado. Pode ser adaptado para uma empresa que concede tais opções. Este artigo tentará demonstrar esse modelo usando fórmulas simples em uma planilha do Excel, que pode ser baixada do cpaj. O objetivo do autor não é apresentar a abordagem mais abrangente, mas sim fornecer um pensamento para as pessoas, considerando um método alternativo para avaliar as opções de ações de seus funcionários da empresa.
Considere um negócio, Exemplo de Empresa, com as seguintes características de seu plano de opções de ações para funcionários:
Preço de mercado de ações US $ 6,00.
Preço de exercício $ 6,00.
Prazo da opção 5 anos.
Taxa livre de risco 4%
Vesting vesting penhasco de 2 anos.
O primeiro passo no processo de avaliação é criar um modelo binomial padrão (ou seja, não modificado). O modelo de Cox, Ross e Rubinstein (CRR) é fácil de construir e é provavelmente o modelo binomial mais amplamente aceito e popular. Para aqueles interessados na teoria por trás do modelo, há inúmeros livros e artigos sobre o assunto, incluindo o artigo de 1979 original de Cox, Ross e Rubinstein, "Preço de Opção: Uma Abordagem Simplificada", & # 8221; publicado no Journal of Financial Economics. A abordagem deste autor para a criação de modelos de CRR é semelhante à encontrada em Modelagem Financeira Usando o Excel e o VBA, por Chandan Sengupta (Wiley, 2004).
Para configurar o modelo de CRR no Microsoft Excel, insira os dados conforme mostrado na Figura 1, células A7 a B12. Em seguida, insira os rótulos conforme mostrado nas células A16 a A21. Por fim, insira as seguintes fórmulas nas células correspondentes:
Se as fórmulas forem inseridas corretamente, o intervalo de dados de B17 a B21 deve corresponder ao mostrado no Anexo 1.
O próximo passo é destacar o intervalo de A17 a B21, em seguida, selecione o item de menu Inserir & gt; Nome & gt; Criar e clique na & # 8220; coluna da esquerda & # 8221; caixa. Siga os mesmos passos com o intervalo de A8 a B8. Isso atribuirá um nome a essas células, facilitando a cópia de fórmulas e a configuração das árvores binomiais. Além disso, permitirá que as fórmulas sejam autoexplicativas, já que esses nomes descritivos serão usados nas fórmulas em vez das referências habituais de célula.
O próximo passo é configurar uma árvore de preços de ações. & # 8221; De acordo com a teoria binomial, a árvore de preços das ações gerará vários preços de ações (ou seja, preços para cima e para baixo em cada etapa) ao longo da vida da opção. (A árvore de preços de ações completa é mostrada no Anexo 1.)
Para gerar a árvore de preços das ações, digite o & # 8220; Passo 0 & # 8211; 5 & # 8221; rótulos nas células A28 a G28, e o & # 8220; Time & # 8221; rotular na célula A29. Na célula B29, insira a fórmula & # 8220; = B28 * Intervalo de tempo & # 8221; e copie para a célula G29. Este passo é simples neste exemplo, mas torna-se importante quando se geram árvores maiores, onde o ano é dividido em intervalos mais curtos. Na célula A31, digite o rótulo & # 8220; Stock Price & # 8221; e na célula B31 digite & # 8220; = B7 & # 8221 ;. Na célula C31, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Up_movement & # 8221; e copie para a célula G31. Na célula C32, insira a fórmula & # 8220; = B31 * Down_movement & # 8221; e copie para a célula G32. Em seguida, copie a célula D32 uma linha para baixo, copie a célula E32 duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O terceiro passo é construir a árvore de opções & # 8220 ;, & # 8221; seguindo um processo conhecido como "indução retroativa", & # 8221; que começa no final da árvore (ou seja, na expiração) e funciona de volta ao tempo presente. No vencimento, uma opção de ação é igual ao maior valor intrínseco (o preço de mercado do estoque no vencimento, menos o preço de exercício) ou zero; uma opção não pode ter um valor negativo. Para refletir isso, insira a fórmula & # 8220; = MAX (0, (G31-Exercise_price)) & # 8221; na célula G40, copie-o para a célula G45. De acordo com a teoria binomial, os valores nas etapas anteriores representam o valor esperado descontado dos futuros valores de opção superior e inferior. Para refletir isso, na célula B40, insira a fórmula & # 8220; = (Up_movement_probability * C40 + (1-Up_movement_probability) * C41) * Discount_factor & # 8221; e copie para a célula F40. Finalmente, copie a célula C40 em uma linha, copie a célula D40 em duas linhas, e assim por diante, para que uma árvore triangular seja gerada.
O resultado final é um modelo binomial padrão que pode ser adaptado para qualquer empresa. O modelo pode ser validado através de uma comparação com o modelo de Black-Scholes; quanto mais passos forem utilizados, mais próximos os resultados se aproximarão do modelo de Black-Scholes. Neste exemplo, verifica-se que o modelo de Black-Scholes produz exatamente a mesma quantidade (US $ 1,21).
A etapa final é modificar o modelo para se adequar a uma empresa específica. Continuando com o exemplo acima, a hipótese de aquisição do precipício de dois anos e o histórico de exercícios anteriores da empresa devem ser considerados. Suponha que, durante os últimos cinco anos de exercícios de opções de ações, os empregados tenham exercido suas opções, em média, quando o preço de mercado excedeu o preço de exercício em 10%. Assim, assume-se que os empregados exercerão suas opções assim que o fator preço de mercado (ou seja, o preço atual dividido pelo preço de exercício) exceder 1,10. Os funcionários só podem exercer suas opções, no entanto, uma vez que eles são adquiridos.
Esses fatores podem ser integrados da seguinte maneira. Primeiro, o fator de exercício (1.10) deve ser inserido na célula B13. O preço mínimo de mercado que acionará a opção a ser exercida pode ser calculado inserindo-se a fórmula & # 8220; = B13 * Preço_do_ Exercício & # 8221 ;. Essas células foram inseridas na planilha, como mostrado na Figura 2.
A coluna E representa o primeiro ano em que os funcionários estão investidos e livres para exercer suas opções. A fórmula com & # 8220; = SE (E31 & gt; Minimum_mkt_price,
E31 - Preço do Exercício, (Up_movement_probability * F40 + (1-Up_movement_probability) * F41) * Discount_factor) & # 8221; deve ser inserido na célula E40. Esta fórmula testa se o estoque será exercido e, se for o caso, o valor intrínseco é inserido na célula. Copie esta fórmula na célula F40. Em seguida, copie a célula E40 para a célula E43 e copie a célula F40 para a célula F44. A árvore de opções resultante para o modelo binomial final modificado deve corresponder à mostrada na Figura 2.
É interessante notar que, embora o preço de mercado do ano superior da árvore de preços das ações de $ 6,63 exceda o preço mínimo de $ 6,60, o modelo não trata a opção como exercida porque ainda não está adquirida. Note que depois de considerar o fator de exercício baixo & # 8221; e regras de aquisição, o preço da opção caiu de US $ 1,21 para US $ 0,88: uma redução de 27%. Essa é a principal vantagem de usar esse tipo de modelo: regras de aquisição e práticas de funcionários passadas podem ser facilmente consideradas.
Embora o exemplo acima tenha sido mantido simples para fins de demonstração, o modelo binomial de CRR pode ser modificado para estar em conformidade com o histórico de exercícios de uma empresa específica e os requisitos de aquisição de direitos. As fórmulas podem ser expandidas e editadas na planilha do Excel.
No comments:
Post a Comment